Relation d'Al-Kashi: ou loi des $cosinus$
Relation des $sinus$
Théorème de la Médiane: première approche des barycentres
Cette relation s'appelle aussi plus prosaïquement la loi des $cosinus$. Elle est une généralisation du théorème de Pythagore.
La loi des $cosinus$ est une généralisation du théorème de Pythagore. On obtient une relation entre les longueur à l'aide du $cosinus$ d'un angle.
Le principe est le suivant, appliqué au segment $[AB]$ :
$$
\left\Vert AB\right\Vert^{2} = \left\Vert AC\right\Vert^{2}+\left\Vert BC\right\Vert^{2}-2\left\Vert AC\right\Vert.\left\Vert BC\right\Vert.\cos \gamma.
$$
Noter que cette formule peut être extrapolée à chaque coté, du moment que l'on dispose de l'angle opposé.
Exercices : Ecrire les deux autres formules pour les deux autres cotés.
Dans ce même triangle, on a la relation, avec $A$, $B$ et $C$ distincts : $$ \dfrac{\sin \alpha}{BC} = \dfrac{\sin \beta}{AC} = \dfrac{\sin \gamma}{AB} $$
Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
On appelle centre de gravité d’un triangle ABC l’unique point G tel que $$ \overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} $$