On veut tout d'abord réaliser cette transformation :
On veut connaître le vecteur $\vec{v}^{'}$ projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$.
En observant la figure on s'aperçoit que le vecteur projeté est colinéaire à celui sur lequel il est projeté. C'est une conséquence directe de la projection d'un vecteur sur un autre.
Pour déterminer ce projeté orthogonal on dispose de la formule suivante :
\begin{align*}
\vec{v}^{'} = & \dfrac{\vec{v}.\vec{u}}{\vec{u}.\vec{u}}.\vec{u}
\end{align*}
Si on projette un vecteur sur un autre, le résultat est un vecteur colinéaire à celui sur lequel est opérée la projection. Comme on le voit sur le dessin, le vecteur $\vec{v}^{'}$ est colinéaire à $\vec{u}$.
On utilise cette construction pour projeter un point sur une droite, ou même un vecteur sur un droite.
Avant de passer à la suite, un exemple.
Soient les vecteurs :
\begin{align}
\overrightarrow{u} =
\left(\begin{array}{ccc}
3 \\
1 \\
\end{array}\right)\text{ et }\overrightarrow{v} =
\left(\begin{array}{ccc}
2\\
-1 \\
\end{array}\right)
\end{align}
On cherche à trouver le vecteur $\overrightarrow{v}^{'}$ projeté orthogonal de $\overrightarrow{v}$ sur $\overrightarrow{u}$. Pour ce faire on applique la formule :
\begin{align*}
\overrightarrow{v}^{'} = &\dfrac{\overrightarrow{v}\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}}.\overrightarrow{u}
\end{align*}
On a :
\begin{align*}
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} = 3.2+1.(-1) = 5 &\text{ et } \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} = 3.3+1.1 = 10
\end{align*}
et
\begin{align*}
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}= 3.2+1.(-1) = 5
\end{align*}
D'où :
\begin{align*}
\overrightarrow{v}^{'} = \dfrac{1}{2}.\overrightarrow{u}
\end{align*}
Donc :
\begin{align}
\overrightarrow{v}^{'} =
\left(\begin{array}{ccc}
3/2 \
1/2 \
\end{array}\right)
\end{align}
$\overrightarrow{v}^{'}$ est le vecteur projeté sur $\overrightarrow{u}$.
On veut connaître le vecteur $\vec{v}^{'}$ projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$.