Démontrer que $I$, $L$ et $M$ sont alignés.
Pour démontrer cet alignement, la technique est la suivante : On va chercher à représenter les vecteur $\overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{IM}$ en fonction d'autres vecteurs de la figure. Ces autres vecteurs doivent être choisis de manière à faire apparaitre $L$ et $M$ comme étant des barycentres de certains point et pour conclure que I est le barycentre de $L$ et $M$ ce qui résoudrait le problème.
Écrire $L$ comme un barycentre :
$L$ milieu de $[JC]$ est le barycentre de (A, 1) et (C, 3) : se démontre facilement, le faire en exercice;
On a donc la relation vectorielle quelque soit le point $P$ du plan : \begin{eqnarray*} 1.\overrightarrow{PA} + 3.\overrightarrow{PC} = 4.\overrightarrow{PL} \end{eqnarray*} On applique cette formule pour $P = I$, donc : \begin{eqnarray*} \overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IC} = 4.\overrightarrow{IL} \end{eqnarray*} Écrire $M$ comme un barycentre :
$M$ est le barycentre de $(A, -1)$ et $(B, 3)$ : se démontre facilement, le faire en exercice
On a donc la relation vectorielle quelque soit le point $P$ du plan :
\begin{eqnarray*}
-1.\overrightarrow{PA} + 3.\overrightarrow{PB} = (-1+3).\overrightarrow{PM} = 2 .\overrightarrow{PM}
\end{eqnarray*}
On applique cette formule pour $P = I$, donc :
\begin{eqnarray*}
-\overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IB} = 2.\overrightarrow{IM}
\end{eqnarray*}
Trouver une relation mettant en jeu $L$ et $M$ :
On sait que :
\begin{eqnarray*}
4.\overrightarrow{IL} = \overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IC}
\end{eqnarray*}
et
\begin{eqnarray*}
2.\overrightarrow{IM} = -\overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IB}
\end{eqnarray*}
Si on ajoute les deux expressions ci dessus, on obtient :
\begin{eqnarray*}
4.\overrightarrow{IL}+ 2.\overrightarrow{IM} = -\overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IC}
\end{eqnarray*}
Or on s'aperçoit que le membre de droite vaut le vecteur nul :
\begin{eqnarray*}
-\overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IC} =3.\overrightarrow{IB} + 3.\overrightarrow{IC} =3.(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC})
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
-\overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} + 3.\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}
\end{eqnarray*}
Où $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ car $I$ milieu de $[BC]$
Donc :
\begin{eqnarray*}
4.\overrightarrow{IL}+ 2.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}
\end{eqnarray*}
Donc $\overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{IM}$ sont colinéaires, par conséquent $I$, $L$ et $M$ sont alignés.