La géométrie euclidienne est intuitive et correspond dans une certaine mesure à la réalité dans laquelle nous vivons. Tant qu'on ne parle ni d'astrophysique ou encore de perspective, par exemple!
La géométrie euclidienne est un cadre de travail implicite. Des géométries non euclidiennes ont aussi été inventées. Où on s'aperçoit que l'axiomatique est différente. Par exemple en géométrie hyperbolique, par un point extérieur à une droite passent une infinité de droites parallèles... Ces sujets ne seront pas abordés ici. On est dans un cadre assez intuitif, celui de la plate réalité dans laquelle nous vivons tous. Plate au sens euclidien.
Il existe d'autres géométries, qu'on appelle en général non euclidienne, avant même de les définir. Exemple grossier : une fractale est une géométrie non euclidienne. C'est un espace de dimension non entière... Mais c'est un autre discours.
Ici, nous sommes dans un cadre où les droites parallèles ne se rencontrent jamais, la sommes des angles d'un triangle fait $180^{\circ}$, etc.
Ces axiomes sont rappelés pour préciser le cadre dans le quel on travail. Un point n'a pas de mesure, les droites parallèles ne se coupent jamais, etc. Ce cadre est le plus naturel pour aborder les mathématiques dont il est question ici.
Toute la théorie présentée dans cette page est décrite par la suite.
L'objectif ici est uniquement de présenter le contexte et ce qui va être détaillé dans ces pages. La description de ce système de coordonnées ainsi que d'autres est donnée dans la suite plus différentes formules et outils.
A mon humble avis, il faut voir les mathématiques comme un outil permettant de réaliser des "choses". Où par choses, il est entendu tout type de réalisation : une charpente, une maquette d'avion, un jeu vidéo, ... Cet outil peut être vu comme une nouvelle technologie, comme disait Vladimir Arnold pour introduire ses cours, nouvelle technologie purement intellectuelle, mais permettant d'en créer d'autres plus matérielle, ou virtuelles.
Exemple d'un repère dans le plan (de la feuille) :
Où on peut voir que le point $M$ a pour coordonnées :
$$
M = (x_{M};y_{M})
$$
On appelle $x_{M}$ l'abscisse
dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.
Avec $x_{M}$ et $y_{M}$ des nombres réels quelconques. Par exemple :
$$
M = (5;3)
$$
est le point d'abscisse 5 et d'ordonnée 3.
Un exemple d'un repère dans l'espace, où aucun des plans n'est dans celui de la feuille :
Où le point $M$ a pour coordonnées :
\begin{eqnarray}
M = (x_{M};y_{M};z_{M})
\end{eqnarray}
dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$.
On notera ici que l'on se place toujours dans un repère cartésien. Nous allons étudier plusieurs systèmes de coordonnées, dont le premier, les coordonnées cartésiennes, souvent les plus intuitives. Puis les autres tels que cités au-dessus.
Minecraft : est une sorte de jeu de construction sur informatique très libre et massivement joué en ligne par une multitudes de joueurs. Dans le jeu, on peut avoir sa position à l'aide de coordonnées cartésiennes. Les coordonnées données par les axes des $x$ et des $z$ donnent la position dans le plan et $y$ est la hauteur. Ce qui signifierait quelque chose comme cela :
Avec comme unité de mesure, les cubes constituant l'essence du jeu. Une fois munis de ces axes de l'origine du repère et de cette mesure, il est possible de déterminer les coordonnées de tout élément du jeu. Et donc de construire, détruire, transformer l'intégralité de son environnement.
Apprendre à exploiter différents repères dans le plan ou l'espace, pour y insérer ensuite d'autres outils comme les vecteurs, les droites, les courbes. On introduira chaque notion le plus intuitivement possible, en rajoutant l'écriture mathématiques pour permettre les calcls, raisonnements, démonstrations, ... En général, quand on travaille dans un espace spécifique, qu'il soit à deux, trois ou $n$ dimensions, il faut savoir repérer chaque point de l'espace de manière exacte et unique. On va donc commencer par un système de coordonnées naturel, les coordonnées cartésiennes. Ce qui équivaut grossièrement à savoir se repérer sur une grille.