Imaginons une route entre deux villes. Sur cette route, à chaque kilomètre, on trouve une borne kilométrique. Sur cette dernière est inscrit le nombre de kilomètres parcourus depuis la ville de référence. Admettons qu'une voiture parte de celle-ci et qu'elle tombe en panne près de la borne kilométrique numéro $12$. Lorsque le conducteur appelle la dépanneuse, s'il lui indique qu'il est proche de cette borne portant le numéro $12$, ce dernier saura qu'il faut parcourir 12 kilomètres depuis la ville de référence pour rejoindre notre conducteur en panne. C'est exactement le principe des repères cartésiens.
Sur cet droite graduée, posons que le $0$ est l'origine du repère (ce que l'on fait en général et qui est assez pratique), le sens positif de parcours de cette droite est des négatifs vers les positifs.
Sur cet axe sont placés quatre points : $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et le point $M_{4}$.
$M_{1}$ et $M_{3}$ ont pour coordonnées : \begin{align} &M_{1}= (+4) &&M_{3}= (-1) \\ &M_{2}= (1,5) =\left(\frac{3}{2}\right) && M_{4}= (-3,5) =\left(\frac{-7}{2}\right) \end{align} Où 4 est la coordonnée du point $M_{1}$ valeur entière positive, à droite du 0 etc. Sur le papier on préfère une écriture fractionnaire pour exprimer les résultats.
Une autre manière de voir est de poser un vecteur au lieu d'une unité de longueur. On trouve la même coordonnée, en revanche la notation vectorielle est plus pratique et aisée pour tous les calculs et autres formules.
Le même repère avec un représentation vectorielle :
Ce n'est plus une simple unité qui est représenté mais un vecteur qui porte à la fois la longueur et le sens de l'axe. Avec :
\begin{align}
&||\overrightarrow{i}|| = 1 &&\text{ où $||.||$ désigne la norme, comprendre longueur. }
\end{align}
Pour comprendre les repères, s'en servir dans ses modèles, ne nécessite pas de passer par les vecteurs. Ils deviennent intéressants dans un second temps, quand on s'aperçoit que c'est un outil très pratique pour travailler. Pour l'instant, on peut s'en affranchir, il est d'abord question de coordonnées et de se repérer tant dans le plan que dans l'espace dans ce document.
Conclusion : pour localiser un point sur un axe, on peut l'écrire de plusieurs manières.
Première écriture :
\begin{align}
&M = (x_{M}) ;
\end{align}
Ou une écriture vectorielle :
\begin{align}
&\overrightarrow{OM} = x_{M}.\overrightarrow{i} ;
\end{align}
Ces deux écritures définissent de deux manières différentes bien qu'équivalentes le point $M$.
On va voir maintenant comment faire la même chose dans un plan. Une droite est un espace de dimension $1$. Il faut une information pour localiser un point. Dans le plan, espace à deux dimensions, deux informations sont nécessaires pour localiser un point. On verra qu'il existe plusieurs manières de faire. On appelle ça des systèmes de coordonnées.
On peut voir dix points $M_{1}$ à $M_{10}$ représentés dans ce repère avec par exemple $M_{2}$ et ses coordonnées respectives $x_{M_{2}}$ et $y_{M_{2}}$.
Sur cette grille est un découpage du plan en petits carré, qu'il suffit de compter pour savoir la distance à laquelle on se trouve en abscisse, sur l'axe horizontal et en ordonnée, sur l'axe vertical.
La solution :
Dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ est placé le point $M$. Ce dernier a pour coordonnées dans ce repère $x_{M}$ pour abscisse et $y_{M}$ pour ordonnée.
Ainsi à l'aides des coordonnées du point $M$, on peut écrire :
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OM} = x_{M}.\vec{i} + y_{M}.\vec{j}
\end{eqnarray}
Autrement dit, si on parcourt $x_{M}$ fois le vecteur $\vec{i}$ horizontalement et $y_{M}$ fois le $\vec{i}$ verticalement depuis l'origine du repère, on tombe sur le point $M$.
Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur donné par le point $M$ de coordonnées :
\begin{eqnarray}
M = (x_{M};y_{M})\text{ dans } (O;\vec{i};\vec{j})
\end{eqnarray}
Exercice :
Soit le point $A$ de coordonnées $A = (4;7)$, donner l'expression vectoriel associée.
Soit $\overrightarrow{OB} = -3\vec{i} + 5\vec{j}$. Quelle sont ses coordonnées.
Exercice :
Écrire la combinaison de vecteurs pour ceux définis par les points suivants ($\overrightarrow{OP_{1}},\overrightarrow{OP_{2}},...$):
\begin{align}
& P_{1} = (1;3)\\
& P_{2} = (2;-1) \\
& P_{3} = (-1;4) \\
& P_{4} = (4;-1) \\
& P_{5} = (-6;5) \\
& P_{6} = (-7;-1) \\
& P_{7} = (0;-5) \\
& P_{8} = (-8;-3) \\
& P_{9} = (-2;0) \\
& P_{10} = (9;-3) \\
& P_{11} = (12;-5) \\
& P_{12} = (-11;6) \\
\end{align}
Exercice :
A l'inverse, quelles sont les coordonnées des points $M_{1}$ à $M_{12}$ donnés par ces combinaisons de vecteurs :
\begin{align}
& \overrightarrow{OM_{1}} = 2\vec{i} -3\vec{j}\\
& \overrightarrow{OM_{2}} = \vec{i} + 2\vec{j} \\
& \overrightarrow{OM_{3}} = -2\vec{i} + 5\vec{j} \\
& \overrightarrow{OM_{4}} = 3\vec{i} -7\vec{j} -\vec{i} +2\vec{j} \\
& \overrightarrow{OM_{5}} = 4\vec{i} + 9\vec{j} -3\vec{j} + 4\vec{i} \\
& \overrightarrow{OM_{6}} = 12\vec{i} + 1\vec{j} +7\vec{i} -12\vec{j} -15\vec{i} \\
& \overrightarrow{OM_{7}} = -5\vec{i} +3\vec{i} - 2\vec{j} \\
& \overrightarrow{OM_{8}} = -7\vec{j} + 5\vec{i} \\
& \overrightarrow{OM_{9}} = 5\vec{j} \\
& \overrightarrow{OM_{10}} = -4\vec{i} + 5\vec{j} \\
& \overrightarrow{OM_{11}} = -2\vec{i} \\
& \overrightarrow{OM_{12}} = -5\vec{j} +3 \vec{i} \\
\end{align}