Dans le plan de la feuille, on peut placer un point $M$ :
Au delà du nom pompeux que porte ce système de coordonnées, il correspond à une manière de se repérer utilisée depuis que l'on a commencé à naviguer. L'idée, c'est d'avoir un cap de référence pour placer sa direction par rapport à ce dernier, à l'aide d'un angle. Puis de savoir quelle distance on doit parcourir. En gros, en partant de Brest et en allant à l'est, au bout de $600$ km on ne tombe pas loin de Paris.
Dans le système des coordonnées polaires, l'axe de référence est l'axe des abscisses, orienté vers les $x$ positifs. Vers la droite plus concrètement (à gauche on trouve les valeurs négatives).
Ce système de coordonnées est donc utilisé pour se repérer dans le plan. C'est une autre manière de localiser chaque point du plan. On l'a vu, comme pour le système cartésien, il faut deux informations pour se repérer.
On va utiliser ici des notions de trigonométries, à savoir le $\cos$ : cosinus et le $\sin$ : sinus. On verra que l'on, peut convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes et réciproquement.
Le plan est muni d'un sens de rotation. Autrement dit, imaginez-vous au centre d'une pièce, Pour vous tourner sur vous-même, vous devez soit partir vers la gauche, soit vers la droite. Vers la gauche c'est le sens anti horaire et vers la droite, le sens horaire. Le sens conventionnel des aiguilles d'une montre. On muni donc toujours le plan, implicitement de ce sens de rotation. Où le sens positif est le sens anti horaire, et le sens horaire, par opposition est le sens négatif. Ainsi quand on donne un angle, il est muni d'un signe. $45°$ ou $\pi/2$ signifie tourner de cet angle vers la gauche. $-90°$, ou $-\pi/2$ c'est tourner d'un quart de tour vers la droite.
Dans ce système, les références sont l'axe des $x$ positifs et le sens de rotation positif. Si à cet axe on ajoute un vecteur unitaire, on a de quoi mesurer toute distance depuis l'origine.
Ainsi, en coordonnées polaires, on localise un point $M$ selon sa distance à l'origine et selon l'angle que fait la droite définie par l'origine du repère et le point $M$ et l'axe du repère.
Tout d'abord, soit un repère polaire, avec un axe orienté et on suppose que le plan est orienté de manière conventionnelle :
Dans le plan de la feuille, on peut placer un point $M$ :
puis représenter la droite $(OM)$:
Et faire ressortir la longueur $OM$ et l'angle que fait la droite $(OM)$ et l'axe $(O;\vec{i})$:
Nous avons donc construit un repère en coordonnées polaires, les coordonnées de chaque point s'expriment comme ceci : \begin{align} M & = (\rho ;\alpha) \text{ avec } \rho > 0\text{ et } \alpha\in [ 0; 2\pi]\\ &\rho\text{ représente la longueur } OM\\ &\alpha\text{ représente l'angle orienté entre la droite } OM\text{ et l'axe } (O;\vec{i}) \end{align}
On voit qu'à l'aide de la distance à l'origine, la distance $OM$ et l'angle que fait la droite $(OM)$ avec l'axe $(O;\vec{i})$ permettent de donner avec exactitude la position de $M$.
Il faut voir ce système de coordonnées comme une autre manière de représenter la position des objets. Cette représentation peut s'avérer très utile, là où le repère cartésien est un peu plus compliqué à manipuler. Par exemple, pour représenter un cercle en coordonnées polaires il suffit de connaitre le rayon du cercle. Ainsi, les points du cercle sont tous les points situés à distance $R$ de l'origine, quel que soit l'angle. Nous verrons ça dans la suite.
Se repérer à l'aide des coordonnées polaires est tout simplement un mode de navigation comme on le fait en bateau ou en avion sur des courtes distances. On se fixe une direction de référence, par exemple le nord, on a une distance à parcourir depuis notre point de départ selon une direction données par rapport au nord. Cette direction est donnée par un angle par rapport à une référence. En navigation, c'est le cap.
Ces quatre points, nous le verrons par le calcul par la suite, représentent les quatre sommets d'un carré dont les coordonnées cartésiennes sont :
\begin{align*}
A & = (1 ; 1) \\
B & = (-1 ; 1) \\
C & = (-1 ; -1) \\
D & = (1 ; -1)
\end{align*}
Par la suite, on cherche à calculer le
Petit rappel de trigonométrie :
Avant tout calcul, pour se représenter le cosinus, il faut penser aux projections. Si on projette une longueur sur une autre, sa valeur est alors multipliée par le $cosinus$ de l'angle que font les deux longueurs.
Pour le $\cos$, on rappelle que le $cosinus$ d'un angle est égal au rapport du coté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse du triangle rectangle dans lequel on se trouve. Cette hypoténuse est la longueur $(OM)$ appelée aussi $\rho$. Le coté adjacent est donné par l'abscisse de $M$ : $x_{M}$. Donc, par conséquent, d'un point de vue plus mathématiques :
\begin{eqnarray}
\boxed{\cos\alpha =\dfrac{x_{M}}{OM} =\dfrac{x_{M}}{\rho}}
\end{eqnarray}
De la même manière pour le sinus, rapport du coté opposé à l'angle et de l'hypoténuse, on a :
\begin{eqnarray}
\boxed{\sin\alpha =\dfrac{x_{M}}{OM} =\dfrac{y_{M}}{\rho}}
\end{eqnarray}
On peut représenter les choses comme suit :
A partir des deux formules suivantes, nous pouvons trouver celles qui permettent de convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes : \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \cos\alpha =\dfrac{x_{M}}{\rho}\\ \sin\alpha =\dfrac{y_{M}}{\rho} \end{array} \right. \end{equation} Dans chacune des équations en multipliant par $\rho$ de chaque coté on obtient : \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \rho . \cos\alpha =\rho .\dfrac{x_{M}}{\rho}\\ \rho . \sin\alpha =\rho .\dfrac{y_{M}}{\rho} \end{array} \right. \end{equation}
En simplifiant et en écrivant les égalités dans l'autre sens, on obtient la formule conversion des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes :
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
x_{M} = \rho . \cos\alpha\\
y_{M} = \rho . \sin\alpha
\end{array}
\right.
\end{equation}
Exemple d'application :
Reprenons les quatre points de l'exemple pratique précédent. Et appliquons les formules vues au dessus:
\begin{align*}
A & = (\sqrt{2} ;\frac{\pi}{4}) \\
B & = (\sqrt{2} ;\frac{3\pi}{4}) \\
C & = (\sqrt{2} ;\frac{5\pi}{4}) \\
D & = (\sqrt{2} ;\frac{7\pi}{4})
\end{align*}
En appliquant les formules :
\begin{align*}
A &= (\sqrt{2}.\cos\frac{\pi}{4} ; \sqrt{2} .\sin\frac{\pi}{4}) \\
B &= (\sqrt{2}.\cos\frac{3\pi}{4} ; \sqrt{2} .\sin\frac{3\pi}{4}) \\
C &= (\sqrt{2}.\cos\frac{5\pi}{4} ; \sqrt{2} .\sin\frac{5\pi}{4}) \\
D &= (\sqrt{2}.\cos\frac{7\pi}{4} ; \sqrt{2} .\sin\frac{7\pi}{4})
\end{align*}
En calculant :
\begin{align*}
A &= (\sqrt{2}. \frac{\sqrt{2}}{2} ; \sqrt{2} .\frac{\sqrt{2}}{2} ) \\
B &= (\sqrt{2}. -\frac{\sqrt{2}}{2} ; \sqrt{2} .\frac{\sqrt{2}}{2} ) \\
C &= (\sqrt{2}. -\frac{\sqrt{2}}{2} ;\sqrt{2} . -\frac{\sqrt{2}}{2}) \\
D &= (\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} ;\sqrt{2} . -\frac{\sqrt{2}}{2} )
\end{align*}
Ce qui donne bien par simplification :
\begin{align*}
A &= (1;1) \\
B &= (-1;1) \\
C &= (-1;-1) \\
D &= (1;-1)
\end{align*}
Cet exemple appliqué à quelques points est présenté globalement et résolu de la même manière. Pour comprendre la mécanique du passage de coordonnées polaire en cartésiennes il faut reprendre chaque point et appliquer pas à pas les formules pour trouver les résultats.
Les démonstration sont vue en exercice. Les formules de conversion sont les suivantes :Si $x_{M} = 0$ des cas particuliers apparaissent, comme donné dans la formulation ci-dessous qui donne tous les cas possibles.
Il est aussi possible d'obtenir $\alpha$ dans $[-\pi;\pi]$ à l'aide de ces formules :
L'image ci-dessous présente comment se répartissent les formules pour trouver $\alpha$ dans le premier cas :
Exercice : faire le dessin pour le deuxième cas où $\alpha \in [-\pi;\pi]$.
Ces premiers exemples prennent des points dont les coordonnées vont tomber justes pour certains calculs.
En $\dfrac{\pi}{4}$ la fonction tangente prend une valeur caractéristique de $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Que l'on préfère écrire $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Les coordonnées polaires du point $M$ sont donc : $$ M = (3; \dfrac{\pi}{4}) $$
Les coordonnées polaires du point $M$ sont donc : $$ M = (\sqrt{2}; \dfrac{3\pi}{4}) $$
Ce qui arrondi et en degré donnerait : Les coordonnées polaires du point $M$ sont donc : $$ M = (1.4142; +225°) $$
Les coordonnées polaires du point $M$ sont donc : $$ M = ( 12,369; 4,957) $$ La première valeur étant la distance à l'origine et la deuxième, l'angle depuis la droite de référence, en radians.
Dans l'idée on veut savoir faire cette addition :
Mais en ne connaissant que les normes des vecteurs et leur angle par rapport à l'axe des $x$ positifs :
On doit déterminer $\alpha_{w}$ et $\left\Vert w\right\Vert$ en connaissant $\alpha_{u}$, $\left\Vert u\right\Vert$ et $\alpha_{v}$, $\left\Vert v\right\Vert$.
Pour ce faire, nous allons utiliser deux lois issues de la géométrie du triangle. elles peuvent être vues comme des généralisation du théorème de Pythagore :
D'après la loi des $cosinus$, en l'appliquant dans notre cas on a :
$$
\left\Vert w\right\Vert^{2} = \left\Vert u\right\Vert^{2}+\left\Vert v\right\Vert^{2}-2\left\Vert u\right\Vert.\left\Vert v\right\Vert.\cos \gamma
$$
On identifie facilement l'angle $\gamma$ de la loi des $cosinus$ avec l'angle $\pi -\alpha_{v}+\alpha_{u}$ et la longueur $AB$ avec la norme du vecteur $\left\Vert w\right\Vert$
A l'aide d'une racine carré on obtient $\left\Vert w\right\Vert$.
$\theta$ est l'angle obtenu en ajoutant l'angle du vecteur $\vec{u}$
Premièrement, dans notre schéma on a $\alpha_{w} = \beta + \alpha_{u}$. Donc il suffit de calculer $\beta$. Ce que l'on fait avec la loi des $sinus$. Maintenant on connaît $\left\Vert w\right\Vert$ et $\gamma$. Donc pour trouver $\beta$, en appliquant cette loi des $sinus$ on trouve dans notre cas : $$ \dfrac{\sin \beta}{\left\Vert v\right\Vert} = \dfrac{\sin \gamma}{\left\Vert w\right\Vert} $$ d'où : $$ \beta = \arcsin{\left(\dfrac{\left\Vert v\right\Vert.\sin \gamma}{\left\Vert w\right\Vert}\right)} $$ Avec $\gamma = \pi -\alpha_{v}+\alpha_{u}$.
Donc l'idée ici, c'est de se dire si on a besoin d'ajouter des vecteurs, on le fait en coordonnées cartésiennes!
Par ailleurs, ce n'est pas parce qu'une solution est compliquée que c'est la seule!!!