Dans ce repère, on a le point $M_{1}$ de coordonnées $M_{1} = (\rho ;\alpha)$.
Les coordonnées cylindriques sont un peu le pendant des coordonnées polaires dans l'espace. Si on prend un système de coordonnées polaires et que l'on rajoute un axe vertical, on obtient les coordonnées cylindriques. Un repère en coordonnées polaires vue en perspective :
Dans ce repère, on a le point $M_{1}$ de coordonnées $M_{1} = (\rho ;\alpha)$.
On ajoute à ce repère un axe vertical pour la coordonnées $z$, soit la hauteur, on obtient un nouveau point $M$ :
A l'aide de cette représentation , on peut localiser tout point de l'espace comme dans un système cartésien.
Une autre représentation, où on fait apparaître le cylindre sur lequel évoluerait le point $M$ si l'angle $\alpha_{M}$ est quelconque, entre 0 et $2\pi$.
Pour décortiquer ces coordonnées, on se place à l'origine du repère.
Sur le plan $(O;x;y)$, on se place à une distance $\rho$ de l'origine : cela représente un cercle de centre $O$ et de rayon $\rho$;
Ensuite on fixe un angle $\alpha_{M}$, entre 0 et $2\pi$. Sur la figure ci dessous c'est le point $M_{1}$ ;
Puis on applique la hauteur, ou cote, qui permet d'atteindre le point $M$ à l'aide de la troisième coordonnées $z_{M}$ :
On se rappelle que les coordonnées polaires d'un point sont données par une longueur, le module et un angle, qu'il est possible d'appeler l'argument.
Soit un point $M$ de l'espace. Ses coordonnées sont : \begin{align} M & = (\rho ;\alpha ; z) \end{align} avec $\rho > 0$, $\alpha\in [ 0; 2\pi]$ et $z \in \mathbb{R}$Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes est exactement comme celui de polaire à cartésien.
La hauteur $z$ n'a aucune incidence dans les formules.
Ces coordonnées sont pratiques pour modéliser une trajectoire hélicoïdale par exemple.