Le cadre mathématiques est celui du plan. Aussi appelé $\mathbb{R}^2$. L'extrapolation de cette notion à l'espace est le calcul de la distance d'un point à un plan!
Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $\Delta$. Alors la distance $MH$ est la distance entre le point $M$ et la droite $\Delta$.
Hypothèses :
On dispose de l'équation de la droite $\Delta$ et des coordonnées d'un point $A$ de la droite, quelconque mais dont on connaît les coordonnées, dans un même repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.
Considérons aussi le point $H$, projeté orthogonal de $M$ un point quelconque du plan sur la droite $\Delta$.
On a :
\begin{align}
M & = (x_{M} ; y_{M})
\end{align}
Et l'équation cartésienne de $\Delta$ :
\begin{align}
\Delta : a.x +b.y + c = 0
\end{align}
Alors, la distance $MH$ est donnée par la formule suivante :
\begin{align}
MH & =\dfrac{|a.x_{M} +b.y_{M} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
\end{align}
Dans le plan.
Le point A sur la figure est placé pour permettre de trouver les coordonnées du projeté de $M$ sur la droite.
On dispose de quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ et d'une droite $\Delta$. On a : $A(1;2)$, $B(-1;-1)$, $C(-2;-1)$, $D(2;1)$ et la droite $\Delta$ d'équation cartésienne : $2x+y-1=0$.
Quel est le point le plus proche de $\Delta$?
Pour cela on calcul la distance entre chaque point et la droite. Tout d'abord, soient $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$, $H_{D}$, les projetés orthogonaux des points $A$, $B$, $C$, $D$ respectivement sur $\Delta$. On doit donc calculer les distance $AH_{A}$, $BH_{B}$, $CH_{C}$ et $DH_{D}$. En remplaçant directement dans la formule on obtient les distances suivantes: \begin{align*} AH_{A}& =\dfrac{|3.1+1.2-1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}&& =\dfrac{4}{\sqrt{5}} && =\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\\ BH_{B}& =\dfrac{|3.(-1)+1.(-1)-1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}&& =\dfrac{5}{\sqrt{5}} && =\dfrac{5\sqrt{5}}{5}\\ CH_{C}& =\dfrac{|3.(-2)+1.(-1)-1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}&& =\dfrac{8}{\sqrt{5}} && =\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\\ DH_{D}& =\dfrac{|3.2+1.1-1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}&& =\dfrac{6}{\sqrt{5}} && =\dfrac{6\sqrt{5}}{5} \end{align*} Le point le plus proche de la droite $\Delta$ est donc le point $A$.